球冠面上的数据表达有着广泛的应用：在高数值孔径光学系统如光刻、显微系统中用来表达并分析像差，照明系统中用来设计大张角的透镜曲面，计算机渲染中用来计算反射光的半球分布，在人眼角膜塑形、区域地磁场建模中也起重要作用，因此一直是研究的热点。传统的平面函数随着球冠面变得弯曲，误差不可忽略，因此只在小曲度的情况下适用；而著名的球谐函数在球冠面上是冗余的，难以进行稳定的拟合，即使正则化、分数阶球谐函数等改进方法陆续被提出，计算的复杂性、高阶次不稳定的固有困难仍然难以彻底克服。
这次郑奕课题组从平面单位圆与球冠在拓扑形态上的同构出发，构造了两者之间的一一映射，使用zernike多项式原理，系统推导出球冠面上的正交完备函数系的获得方法。在此基础上，获得了3组具有解析表达的函数。第一个是“半球谐函数”（hemispherical harmonics），它在半球面上的正交、完备性获得证明，而且其表达式上与球谐函数的相似性加深了人们对球谐函数的理解，它还揭示了平面zernike多项式与球谐函数之间关联。第二个是“zernike球面函数”（zernike spherical functions），第三个是纵向球面函数（longitudinal spherical functions），它们在任意球冠上都具有正交不变性，甚至可以拓展到超半球冠，适应性强。研究还讨论了球冠面上数据拟合的问题，通过对拟合协方差矩阵条件数的分析，所获球冠函数相对球谐函数、zernike多项式具有显著优势，计算稳定、而且对噪声不敏感。该项研究成果已在国际期刊《光学快报》（optics express vol. 27, no. 26 37180–37195, 2019）上发表。研究获得国家自然科学基金（11190011, 11973008）、江苏省自然科学基金（bk20141516）的支持。
图1(a) 半球谐函数hsh的形态；图1(b) 半球谐函数在球谐函数中的分布，黄色格点为半球谐函数，灰色格点为伴随半球谐函数，两者组合为球谐函数。
图2(a) 球谐函数在半球上的拟合协方差矩阵；图2(b) 为zernike函数在半球上的拟合协方差矩阵；图2(c) 半球谐函数在半球上的拟合协方差矩阵；图2(d) 协方差矩阵条件数比较，半球谐函数优势明显。
图3(a) 用4阶、20阶和140阶球冠函数拟合半球上的台阶分布，获得很高的拟合精度
研究团队单位：国家天文台南京天文光学技术研究所
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