实现主成分分析与因子分析(一)
一、主成分分析
(1)问题提出
在问题研究中，为了不遗漏和准确起见，往往会面面俱到，取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素，我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元，不仅会使模型变得复杂不稳定，而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩，减少变量的个数，同时消除多重共线性?
这时，主成分分析隆重登场。
(2)主成分分析的原理
主成分分析的本质是坐标的旋转变换，将原始的n个变量进行重新的线性组合，生成n个新的变量，他们之间互不相关，称为n个“成分”。同时按照方差最大化的原则，保证第一个成分的方差最大，然后依次递减。这n个成分是按照方差从大到小排列的，其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差(及变异信息)。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”，他们包含了原始变量的大部分信息。
注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量，而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。
我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量x1、x2，在坐标上画出散点图如下：
可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°，变成新的坐标系y1、y2，如下图：
根据坐标变化的原理，我们可以算出：
y1 = sqrt(2)/2 * x1 sqrt(2)/2 * x2
y2 = sqrt(2)/2 * x1 - sqrt(2)/2 * x2
其中sqrt(x)为x的平方根。
通过对x1、x2的重新进行线性组合，得到了两个新的变量y1、y2。
此时，y1、y2变得不再相关，而且y1方向变异(方差)较大，y2方向的变异(方差)较小，这时我们可以提取y1作为x1、x2的主成分，参与后续的，因为它携带了原始变量的大部分信息。
至此我们解决了两个问题：降维和消除共线性。
对于二维以上的数据，就不能用上面的几何图形直观的表示了，只能通过矩阵变换求解，但是本质思想是一样的。
二、因子分析
(一)原理和方法：
因子分析是主成分分析的扩展。
在主成分分析过程中，新变量是原始变量的线性组合，即将多个原始变量经过线性(坐标)变换得到新的变量。
因子分析中，是对原始变量间的内在相关结构进行分组，相关性强的分在一组，组间相关性较弱，这样各组变量代表一个基本要素(公共因子)。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解，得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的特征，而特殊因子则是原始变量所特有的部分。因子分析强调对新变量(因子)的实际意义的解释。
举个例子：
比如在市场调查中我们收集了食品的五项指标(x1-x5):味道、价格、风味、是否快餐、能量，经过因子分析，我们发现了：
x1 = 0.02 * z1 0.99 * z2 e1
x2 = 0.94 * z1 - 0.01 * z2 e2
x3 = 0.13* z1 0.98 * z2 e3
x4 = 0.84 * z1 0.42 * z2 e4
x5 = 0.97 * z1 - 0.02 * z2 e1
(以上的数字代表实际为变量间的相关系数，值越大，相关性越大)
第一个公因子z1主要与价格、是否快餐、能量有关，代表“价格与营养”
第二个公因子z2主要与味道、风味有关，代表“口味”
e1-5是特殊因子，是公因子中无法解释的，在分析中一般略去。
同时，我们也可以将公因子z1、z2表示成原始变量的线性组合，用于后续分析。
(二)使用条件：
(1)足够大。通常要求是变量数目的5倍以上，且大于100例。
(2)原始变量之间具有相关性。如果变量之间彼此独立，无法使用因子分析。在中可用kmo检验和bartlett球形检验来判断。
(3)生成的公因子要有实际的意义，必要时可通过因子旋转(坐标变化)来达到。
三、主成分分析和因子分析的联系与区别
联系：两者都是降维和信息浓缩的方法。生成的新变量均代表了原始变量的大部分信息且互相独立，都可以用于后续的回归分析、判别分析、聚类分析等等。
区别：
(1)主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新变量，强调新变量贡献了多大比例的方差，不关心新变量是否有明确的实际意义。
(2)因子分析着重要求新变量具有实际的意义，能解释原始变量间的内在结构。
下一篇文章，将介绍主成分分析和因子分析的在中的实现。
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